今天讨论二维矩阵 (图像) 的Fourier transoform，这个问题缘起师兄的工作，“当图像的灰度波动较小，或者说只有大尺度结构时，它的傅立叶变换的图像会在中间(低频)区域出现一个十字。”而这个诡异的十字严重影响了后续的工作。为什么会有这个十字？我们有一个猜想，也试着证明了一下，但不确定是不是这个原因，先挖个坑再说。。。

基本的傅立叶变换我就不介绍了。它的定义很简单，用正交的余弦函数作为base，对时域或空域的信号进行分解，并在频域描述信号. 这样做的好处很多，例如能够实现信号的滤波、能够压缩信号、能够将卷积转化为乘法等。

我准备先零散地抛几个“有(wu)趣(liao)”的点出来，第一个就是二维傅立叶变换的时移问题，这里我觉得用bias来描述更好，很无聊，但它的推导还是挺有价值的。设二维实数空间，其傅立叶变换为，则有，

现假设在$x$和$y$方向的偏移(时移)分别为$b_x$和$b_y$，那么，Eq.(1)变为，

而上式中的利用欧拉公式展开，我们得到，

显然，可以拆分成向量$(m,n)$与$(b_x,b_y)$的内积，代表频域空间的向量在偏移方向上的投影，而又共同构成了该种投影的周期性，导致在傅立叶变换的图像上出现周期性变化的明暗条纹。

说完时移的问题，我们来提出图像傅立叶变换以后诡异十字问题的猜想，图像边界处有明显的灰度变化会导致傅立叶变换后的频域图像出现十字。可以理解为在图像边界处人为做了truncated，即给图像加了矩形窗，导致在频域的vertical和horizontal两个方向乘了一个sinc函数，而由于这个窗很大，所以sinc的影响集中在靠近中心(低频)的区域。

先留个坑，明天加图。。。